小乐数学科普一种新形状连接数论和几何的

作者：KevinHartnett-7-19译者：zzllrr小乐-7-24

数学界最伟大的项目收到了一份难得的礼物，它以2月份发表的页的庞大论文的形式出现，将改变世界各地的研究人员对该领域一些最深层次问题的研究方式。这个工作成果塑造了一个新的几何对象，实现了一个关于几何与数论之间关系的大胆梦想。

“这确实开辟了大量的可能性。他们的方法和结构非常新颖，有待进一步探索，”密歇根大学的TashoKaletha说。

这项工作是巴黎Jussieu数学研究所的LaurentFargues（洛朗·法格）和波恩大学的PeterScholze（彼得·舒尔茨）合作完成的。它在长期运行的“朗兰兹纲领”中开辟了一条新战线，该计划旨在将数学的不同分支——如微积分和几何——联系起来，以回答一些关于数字的最基本问题。

他们的论文实现了这一愿景，为数学家提供了一种全新的思考方式，以思考几个世纪以来一直启发和困惑他们的问题。

Fargues和Scholze工作成果的中心是一个重新焕发活力的几何对象，称为Fargues-Fontaine曲线。它由Fargues和Jean-MarcFontaine于年左右首次发展，后者在年因癌症去世之前一直是巴黎第十一大学（Paris-SudUniversity）的教授。十年后的现在，该曲线才达到最高形式。

“当时他们知道Fargues-Fontaine曲线很有趣，也很重要，但不知道是什么方式，”慕尼黑工业大学的EvaViehmann说。

这条曲线可能仍然局限于被发明的数学技术角落，但在年涉及Fargues和Scholze的事件将其推向了该领域的中心。在接下来的七年中，他们制定了使法格曲线适应Scholze理论所需的基本细节。最终的结果并没有太多的桥梁连接数论和几何，而是让它们之间的地面坍塌。

“这是两个不同世界之间的某种虫洞，”Scholze说。“他们真的只是通过不同的镜头以某种方式变成了同一件事。”

根部收获

朗兰兹纲领是一个庞大的研究愿景，从一个简单的问题开始：找到多项式方程的解，如x2=0和x10x+22=0。求解它们意味着找到多项式的“根”，即X的值，使多项式等于零。到年代，数学家已经发现了用于计算最高幂为2、3或4的多项式根的简洁公式。然后他们寻找方法来识别变量5次幂及以上的多项式的根。但是在年，年轻的数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（varisteGalois）发现搜索不会有结果，证明没有通用的方法来计算高次多项式的根。

不过，伽罗瓦并没有就此止步。在年20岁的决斗中去世前几个月，伽罗瓦提出了多项式解的新理论。他没有精确计算根——这在大多数情况下无法完成——他提议研究根之间的对称性，他将其编码在一个新的数学对象中，最终称为伽罗瓦群。

在x2的例子中，伽罗瓦群没有明确说明根，而是强调这两个根（无论它们是什么）就代数定律而言是彼此的镜像。

“数学家不得不远离公式，因为通常没有公式，”斯坦福大学的BrianConrad说。“计算伽罗瓦群是计算根之间关系的某种度量。”

在整个20世纪，数学家设计了研究伽罗瓦群的新方法。一个主要的策略是创建一个字典，在群和其他对象之间进行翻译——通常是来自微积分的函数——并研究这些作为直接处理伽罗瓦群的代理。这是朗兰兹纲领的基本前提，它是通过这些类型的翻译研究伽罗瓦群——实际上是多项式——的广阔视野。

朗兰兹纲领始于年，当时（得名于）罗伯特·朗兰兹，写了一封信给名为韦依（AndréWeil）一个著名的数学家。朗兰兹提出应该有一种方法将每个伽罗瓦群与一个称为自守形式的对象相匹配。虽然伽罗瓦群出现在代数中（反映你使用代数求解方程的方式），但自守形式来自一个非常不同的数学分支，称为分析，它是微积分的增强形式。20世纪上半叶的数学进展已经确定了两者之间的足够相似之处，使朗兰兹怀疑存在更彻底的联系。

伦敦帝国理工学院的AnaCaraiani说：“这些性质截然不同的对象以某种方式相互交流，这很了不起。”

如果数学家能够证明所谓的朗兰兹对应，他们就可以自信地使用微积分的强大工具研究所有多项式。所猜想的关系是如此基础，以至于它的解也可能涉及数论中许多最大的未解决问题，包括百万美元千禧年奖中的三个问题：黎曼假设、BSD猜想和霍奇猜想。

考虑到利害关系，几代数学家都被激励加入这项工作，将朗兰兹最初的猜想发展为当今该领域最大、最广泛的项目。

“朗兰兹纲领是一个猜想网络，几乎涉及纯数学的每个领域，”Caraiani说。

来自形状的数字

从年代初期开始，弗拉基米尔·德林菲尔德（VladimirDrinfeld）和后来的亚历山大·贝林森(AlexanderBeilinson)提出应该有一种方法来用几何术语解释朗兰兹的猜想。数论和几何之间的转换通常很困难，但是当它起作用时，它可以解决问题。

举一个例子，关于一个数的一个基本问题是它是否有重复的质因数。数字12可以：它分解为2×2×3，其中2出现两次。数字15没有（它被分解为3×5）。

一般来说，没有快速的方法知道一个数字是否有重复因子。但是有一个类似的几何问题要容易得多。

多项式具有许多与数字相同的属性：可以对它们进行加、减、乘和除。甚至还有一个关于多项式是“素”的概念。但与数字不同的是，多项式具有清晰的几何外观。你可以绘制他们的解并研究这些图表以获得有关它们的见解。

例如，如果图形在任何一点与x轴相切，你就可以推断出多项式具有重复因子（正好在相切点处指示）。这只是一个模糊的算术问题如何在转换为多项式类似物后获得视觉意义的一个例子。

“你可以绘制多项式。你不能绘制一个数字。当你绘制一个[多项式]时，它会给你一些想法，”康拉德说。“而数字只是数字。”

“几何”朗兰兹纲领，正如后来被称为的那样，旨在寻找具有可以代表朗兰兹猜想中的伽罗瓦群和自守形式的性质的几何对象。通过使用几何工具在这个新环境中证明类似的对应关系可以让数学家对原始朗兰兹猜想更有信心，并可能提出有用的思考方式。这是一个美好的愿景，但也有点空灵——有点像说如果你只有一台时间机器，你就可以穿越宇宙。

“制作在数字设定中起到类似作用的几何对象要困难得多，”康拉德说。

因此几十年来，几何朗兰兹纲领与原始纲领相距甚远。两人被同一个目标所激励，但他们涉及的对象是如此根本不同，以至于没有真正的方法可以让他们彼此交谈。

“算术人员似乎对[几何朗兰兹纲领]感到困惑。他们说这很好，但与我们的担忧完全无关，”Kaletha说。

然而，Scholze和Fargues的新工作终于实现了寄托在几何朗兰兹纲领上的希望——通过找到第一个形状，其属性直接与朗兰兹最初的

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